Präzision

Grundlage: Darstellung von Fließkommazahlen auf dem Rechner
Eine n-stellige Gleitpunktzahl x zur Basis B (meist 2, 8, 10 oder 16) hat die Form:
x = +/- ( 0.z_1 z_2 z_3 ... z_n ) * B^(E - E_bias)
mit
z_i ∈ { 0, 1, .. B-1 }
falls x != 0: z_1 != 0 (normalisierte Gleitpunktdarstellung)
Der Anteil ( 0.z_1 z_2 z_3 ... z_n ) wird als Mantisse bezeichnet (Beispiel für eine 8-Stellige Mantisse: 0.10001010).
Der Exponent E ist eine ganze Zahl. Für diese benutzt man kein Vorzeichen, sondern stellt die negativen Exponenten mit Hilfe eines Bias E_bias dar (E bezeichnet man als physischen Exponenten und (E-E_bias) als logischen Exponenten).
B und E_bias werden nicht abgespeichert, sondern werden durch per Konvention festgelegt.

Da z_1 in obiger Darstellung bei Basis B = 2 praktisch immer 1 ist, außer für die Null, muss man z_1 nicht (in einem Bit) speichern. Man erhält so die packed mantissa-Darstellung:
x = +/- ( 1.z_1 z_2 z_3 ... z_n ) * B^(E - E_bias)
Hier kann z_1 auch Null sein. Allerdings kann man jetzt die Null nicht mehr darstellen. Deshalb legt man fest für den Fall, das E = 0 ist, dass die Mantisse nicht um "1." ergänzt wird. Man spricht hier von einer denormalisierten Mantisse (einem "Denorm").

IEEE-754 Standard für double precision-Zahlen, als Basis wird 2 verwendet:
  • 1 Bit für das Vorzeichen der Mantisse
  • 52 Bit für die Mantisse
  • 11 Bit für den Exponenten (negative Zahlen über Bias)
Für den Intel 80x87 Floating Point Data Typ siehe z.B.: http://oregonstate.edu/~peterseb/mth351/docs/351s2001_fp80x87.html

Maschinengenauigkeit

Die Maschinengenauigkeit (Präzision) eps ist die kleinste positive Zahl, für die auf dem Computer gilt:
1. + eps != 1.

Für positive Zahlen ε kleiner als eps gilt somit:
(1 + ε) = 1
1 + ε wird also nach der Addition wieder auf 1 gerundet. Bei der Bestimmung von eps auf einem moderenen x86 ist zu beachten, dass im floating point register eine andere Präzision benutzt wird als im Speicher (Für den IEEE-754 Standard siehe z.B.: http://www.etsimo.uniovi.es/~antonio/uned/ieee754/IEEE-754references.html):
  • floating point register (math co-processor): 80-Bit IEEE double extended präcision
  • Speicher (memory): 64-bit IEEE representation

Das folgende Programm verdeutlicht diesen Unterschied - Compiler g++ auf einem Linux-x86 beim Kompilierung ohne Optimierung (d.h. -O0): 
#include<stdio.h>
#include<limits> // function numeric_limits


int main()
{
   double eps_Double_Extended = 1.0;
   while( true )
     {       
       if( 1. + eps_Double_Extended == 1. ) 
	 break;
       eps_Double_Extended  *= 0.99;
     }

   double eps = 1.0;
   while( true )
     {
       double temp = double(1.) + eps ;      
       if( temp == double(1.) ) break;
       eps  *= 0.99;
     }

  // Außerdem kann man die Präzision direkt mit der Funktion
  // numeric_limits erhalten:  
  double epsilon = std::numeric_limits<double>::epsilon();

  printf("eps                  : %.4g \n", eps) ;
  printf("eps (double Extended): %.4g \n", eps_Double_Extended) ;
  printf("epsilon              : %.4g \n", epsilon) ;

  return 0;
}
Ausgabe auf meinem PC: 
eps                  : 1.102e-16 
eps (double Extended): 5.417e-20 
epsilon              : 2.22e-16

Berechnung der Stellen in der Mantisse mit Hilfe von eps

Die Anzahl der Stellen n der Mantisse erhält man über
n = - log_2(eps) - 1 = - ln(eps)/ln(2) - 1
Die -1 ergibt sich aus der packed mantissa-Darstellung.

Beispiel (3-stellige duale Rechnung auf der linken Seite des ≈-Zeichens):
1.00000 + 0.00011 = 1.00011 ≈ 1.00 = 1. (abrunden)
1.00000 + 0.00100 = 1.00100 ≈ 1.01 > 1. (aufrunden)

Das Runden ergibt sich, da die Addition auf dem Math-Coprozessor (floating point register) mit höherer Prezision ausgeführt wird.
Ab Zahlen größergleich 0.001(dual) = 0.125(dezimal) erhält man bei der Addition durch Aufrunden Zahlen größer 1, d.h. eps = 0.125(dezimal)

Für n erhält man
n = -log_2(0.125) - 1 = 2; d.h. 2-Stellen in packed mantissa-Darstellung Für eps ≈ 1.102e-16 erhält man also 52-Stellen, wie im IEEE-Standard beschieben.

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